Polsko-niemiecki projekt na PG z dofinansowaniem Narodowego Centrum Nauki

Grupa badawcza pod kierunkiem dr hab. Joanny Janczewskiej, prof. nadzw. PG z Wydziału Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej na Politechnice Gdańskiej rozpoczęła realizację polsko-niemieckiego projektu „Teoria Morse’a w układach hamiltonowskich”, dofinansowanego przez Narodowe Centrum Nauki. Nad projektem pracują także naukowcy pod kierunkiem prof. Alberto Abbondandolo z Wydziału Matematyki Uniwersytetu w Bochum.

 

– Chcemy zmodyfikować znane już metody matematyczne w taki sposób, aby można je było zastosować do problemów otwartych, m.in. do badania układów hamiltonowskich z niestandardową energią kinetyczną lub do badania układów, w których co prawda energia kinetyczna jest standardowa, ale za to przestrzeń konfiguracji jest skomplikowana. W szczególności, chcemy się przyjrzeć wybranym niezmiennikom topologicznym, do których należą: homologie Morse’a, homologie Floera i indeks Conleya w wersjach nieskończenie-wymiarowych oraz metodom wariacyjnym, gdy możliwe jest zdefiniowanie odpowiedniego funkcjonału działania – tłumaczy prof. Joanna Janczewska z grupy badawczej z analizy nieliniowej na WFTiMS PG.

 

Jak tłumaczy prof. Joanna Janczewska, równania Hamiltona opisują ewolucje układów fizycznych. Na przykład, ruch punktu materialnego o masie m poruszającego się po okręgu o promieniu l pod wpływem siły stałego przyspieszenia ziemskiego g leżącej w płaszczyźnie tego okręgu, opisywany jest zgodnie z prawem Newtona równaniem różniczkowym wahadła. Można je sprowadzić do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu, który jest układem hamiltonowskim.

– Jeden z najważniejszych układów hamiltonowskich jest związany z tzw. zagadnieniem N-ciał, w szczególności z ruchem planet wokół Słońca. Badanie tego układu wciąż inspiruje do powstawania nowych teorii, bowiem te powstałe w XIX w. i XX w. pozwalają przewidzieć, że w czasie rzędu 1000 lat ruch planet zmieni się niewiele. Niestety nie pozwalają przewidzieć, jak się zmieni po czasie rzędu miliona lat lub dłuższym. Skłamałabym mówiąc, że będziemy szukać odpowiedzi na to pytanie. Natomiast w literaturze matematycznej pod koniec ubiegłego wieku, np. w pracach wybitnego matematyka amerykańskiego Paula H. Rabinowitza pojawiło się pytanie o to, czy założenie okresowości danego układu w czasie można zastąpić założeniem prawie okresowości i ono będzie przedmiotem naszych badań, a ma pośredni związek z dynamiką nieba, gdyż ruchy planet są na ogół prawie okresowe – mówi prof. Joanna Janczewska.

Projekt badawczy „Teoria Morse’a w układach hamiltonowskich” po stronie polskiej został dofinansowany kwotą 548 320 zł przez Narodowe Centrum Nauki w ramach konkursu Beethoven 2. Stronę niemiecką finansuje Niemiecka Wspólnota Badawcza (Deutsche Forschungsgemeinschaft – DFG). Projekt będzie realizowany do stycznia 2021 r. Głównym wykonawcą na Politechnice Gdańskiej jest prof. Marek Izydorek, po stronie niemieckiej – dr LucaAsselle. Po obu stronach, na PG od 2019 r., planowane są dwuletnie stanowiska typu post-doc (zatrudnienie w procedurze konkursowej).

Dodajmy, że praca „Homoclinic solutions for a class of the second order Hamiltonian system” autorstwa prof. Joanny Janczewskiej i prof. Marka Izydorka z WFTiMS zajęła w 2015 r. drugą pozycję na liście najczęściej cytowanych na świecie polskich artykułów z matematyki (ranking "Top papers for Poland in Mathematics" opracowano w oparciu o bazę Web of Science Core Collection). Znajduje się tez na liście najczęściej cytowanych prac nauczycieli akademickich zatrudnionych aktualnie na PG i opublikowanych z afiliacją Politechniki Gdańskiej (według liczby cytowań na dzień 5 grudnia 2017 r.). Praca matematyków z PG, która ukazała się w 2005 roku w jednym z najlepszych czasopism matematycznych „Journal of Differential Equations”,  cieszy się dużym zainteresowaniem, gdyż poruszana w niej tematyka nie traci na aktualności. Artykuł zawiera opracowaną przez prof. Joannę Janczewską nową metodę badawczą, tzw. metodę aproksymacyjną. Można ją stosować do rozmaitych typów równań różniczkowych, nie tylko zwyczajnych jak równania hamiltonowskie, ale również do równań różniczkowych cząstkowych.

Na zdjęciu od lewej: prof. dr hab. Marek Izydorek, dr inż. Jakub Maksymiuk, dr hab. Joanna Janczewska, prof. nadzw. PG oraz dr inż. Maciej Starostka, który niebawem wyjedzie do Niemiec na stanowisko postdoca w projekcie "Teoria Morse'a w układach hamiltonowskich".