Wiemy już, że każdą mapę narysowaną na płaszczyźnie można pokolorować 4 barwami. A co będzie, gdy zabiorą się za to 2 osoby, powiedzmy Alicja i Bogdan? Czy również 4 kolory im wystarczą? Tak, o ile będą działali zgodnie. Ale jeśli Bogdan będzie działał złośliwie, to już niekoniecznie. Prowadzi nas to do ciekawego problemu gry w kolorowanie map.
Niech Alicja i Bogdan na przemian kolorują państwa na zadanej mapie, mając do dyspozycji ten sam skończony zbiór kolorów. Grę rozpoczyna Alicja, a jej celem jest pokolorowanie całej mapy. Natomiast jej przeciwnik, Bogdan, chce temu zapobiec. Obie strony obowiązuje reguła, że w każdym momencie gry państwa, które ze sobą graniczą, muszą mieć nadane różne kolory. Alicja zwycięża, gdy cała mapa G została pokolorowana. Inaczej zwycięzcą jest Bogdan. Najmniejszą liczbę kolorów, dla której Alicja ma strategię wygrywającą, nazywamy rozgrywaną liczbą chromatyczną χr(G).